Question

f（x）=ax³+bx²+cx+d，定義y=f″（x）是函數y=f′（x）的導函數．若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．有同學發現：任何一個三次函數既有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心．根據這一發現，對于函數g（x）=x³-x²+3x+，則g（）+g（）+g（）+…+g（）的值為________．

Answer 1

分析：先求g′（x）的解析式，再求g″（x），由g″（x）=0 求得拐點的橫坐標，代入函數解析式求拐點的縱坐標，然后利用中心對稱知識，把要求的g（）+g（）+g（）+…+g（）的值轉化為對稱中心點的函數值．
解答：依題意，得：g′（x）=x²-x+3，∴g″（x）=2x-1．
由g″（x）=0，即2x-1=0，得：x=，
把x=代入函數g（x）的解析式得：g（）=，
∴函數g（x）=x3-x2+3x+對稱中心為（，）．
則=．
所以，g（）+g（）+g（）+…+g（）的值為2011．
故答案為．
點評：本題考查一階導數、二階導數的求法，函數的拐點的定義以及函數圖象關于某點對稱的條件，解答此題的關鍵是能夠運用對稱知識把要求解的問題轉化為中心對稱點的函數值問題，此題是中檔題．