Question

已知F是橢圓的右焦點，過F的弦AB滿足，則弦AB的中點到右準線的距離為（ ）
A．6
B．
C．3
D．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，設直線AB方程為y=k（x-4），與橢圓消去y得關于x的一元二次方程．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理得x₁+x₂=，x₁x₂=…①，再由，算出x₁+3x₂=16…②，聯解得到x₁+x₂=，得弦AB的中點橫坐標為，再算出橢圓右準線方程為x=，即可得出AB的中點到右準線的距離．
解答：解：∵橢圓的右焦點為F（4，0）
∴設直線AB方程為y=k（x-4），
與橢圓消去y，得（9+25k²）x²-200k²x+400k²-225=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得x₁+x₂=，x₁x₂=…①
∵
∴4-x₁=3（x₂-4），可得x₁+3x₂=16…②
聯解①②，可得k=，x₁+x₂=
∴弦AB的中點橫坐標為
∵右準線方程為x==，∴AB的中點到右準線的距離為-=3，
故選：C
點評：本題給出橢圓的焦點弦被焦點分成1：3的兩段，求弦的中點到右準線的距離．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓錐曲線的關系等知識，屬于中檔題．