Question

B₁、B₂是橢圓短軸的兩個端點，O為橢圓的中心，過左焦點F₁作長軸的垂線交橢圓于P，若|F₁B₂|是|OF₁|和|B₁B₂|的等比中項，則

|PF1|

|OB2|

的值是

 

．

Answer 1

分析：由題意可以先設出橢圓的方程，因為過左焦點F₁作長軸的垂線交橢圓于P，所以可以利用橢圓的方程及左焦點F₁求出|PF₁|=

b2

a

，然后在有|F₁B₂|是|OF₁|和|B₁B₂|的等比中項得到方程進而求出則

|PF1|

|OB2|

的值．

解答：解：由題意設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
令x=-c得y²=

b4

a2

，∴|PF₁|=

b2

a

，
∴

|PF1|

|OB2|

=

b2 a

b

=

b

a

，
又由|F₁B₂|²=|OF₁|•|B₁B₂|得a²=2bc，
∴a⁴=4b²（a²-b²）．
∴（a²-2b²）²=0．∴a²=2b²．∴

b

a

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：此題重點考查了橢圓的標準方程及其性質，等比中項等，還考查了學生對已知信息的合理順序的應用．