Question

已知函數f（x）=（ax²+bx+c）e^-x的圖象過點（0，2a），且在該點處切線的傾斜角為45°
（1）用a表示b，c；（2）若f（x）在[2，+∞）上為單調遞增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，再利用條件圖象過點（0，2a），且在該點處切線的傾斜角為45°，可得

f/(0)=b-c=1 f(0)=2a

，從而問題得解．
（2）解決單調性用導數，函數f（x）在[2，+∞）上為單調遞增函數，即f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立．

解答：解：（1）f′（x）=-[ax²+（b-2a）x+c-b]e^-x
由已知得：

f/(0)=b-c=1 f(0)=2a

，∴

c=2a b=1+2a

（2）由（1）得f′（x）=-（ax²+x-1）e^-x
∵f（x）在[2，+∞）上為單調遞增函數，則f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立．
即ax²+x-1≤0對x∈[2，+∞）恒成立．即a≤

1-x

x2

對x∈[2，+∞）恒成立．
令y=

1-x

x2

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，∵x≥2，∴0＜

1

x

≤

1

2

，∴y的最小值為-

1

4

，∴a≤-

1

4

，
故a的取值范圍(-∞，-

1

4

]．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、恒成立問題的處理等知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．