Question

已知向量

a

=（cos2x，sin2x），

b

=（

3

，1），函數f（x）=

a

•

b

+m．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最小值為5，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數量積以及兩角和的正弦函數化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，利用周期公式求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）通過x∈[0，

π

2

]，f（x）的相位的范圍，然后利用正弦函數的值域求出函數的指正，利用函數的最小值為5建立方程，即可求m的值．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意知：f（x）=

a

•

b

+m=

3

cos2x+sin2x+m…（2分）
=2sin(2x+

π

3

)+m．…（4分）
所以f（x）的最小正周期為T=π…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=2sin(2x+

π

3

)+m，
當當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，…（8分）
所以當2x+

π

3

=

4π

3

時，f（x）的最小值為-

3

+m…（10分）
又∵f（x）的最小值為5，
∴5=-

3

+m．
∴m=5+

3

…（12分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，三角函數的周期的求法，函數的最值的應用，考查計算能力．