Question

定義在實數R上的函數y=f（x）是偶函數，當x≥0時，f（x）=-4x²+8x-3．
（Ⅰ）求f（x）在R上的表達式；
（Ⅱ）求y=f（x）的最大值，并寫出f（x）在R上的單調區間（不必證明）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據函數的奇偶性以及x≥0的解析式求出x＜0的解析式，因為函數定義在R上，所以函數是分段函數，寫出各段的解析式，用大括號連接即可．
（Ⅱ）先根據（Ⅰ）中所求函數解析式，求出函數在每段上的最大值，其中最大的就是函數f（x）的最大值，再由函數兩段上的圖象都是開口向下的拋物線，結合對稱軸就可求出函數的單調區間．

解答：解：（Ⅰ）設x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=）=-4（-x）²-8x-3=-4x²-8x-3．
又∵f（x）是偶函數，∴f（x）=f（-x）=）=-4x²-8x-3．
∴f（x）=

-4x2+8x-3    (x≥0) -4x2-8x-3     (x＜0)

（Ⅱ）當x≥0時，f（x）=-4x²+8x-3，圖象為對稱軸是x=1，開口向下的拋物線，當x=1時f（x）有最大值為1
當x＜0時，f（x）=-4x²-8x-3，圖象為對稱軸是x=-1，開口向下的拋物線，當x=-1時f（x）有最大值為1
∴f（x）的最大值是1．
函數單調增區間為（-∞，-1]，和[0，1]，單調減區間為[-1，0]，和[1，+∞）

點評：本題主要考查利用函數的奇偶性求分段函數的解析式，以及分段函數的最值，單調區間的求法．