Question

函數f（x）是冪函數，圖象過（2，8），定義在實數R上的函數y=F（x）是奇函數，當x＞0時，F（x）=f（x）+1，求F（x）在R上的表達式；并畫出圖象．

Answer 1

分析：設出函數的解析式，將（2，8）代入可得函數f（x）的解析式，進而根據函數y=F（x）是奇函數，當x＞0時，F（x）=f（x）+1，求出x＜0及x=0時，F（x）的解析式，可得F（x）在R上的表達式，進而根據分段函數圖象分段畫的原則畫出圖象．

解答：解：設y=x^α，（x＞0）；將（2，8）代入得α=3，
當x＞0，F（x）=f（x）+1=x³+1------------------------（3分）
當x＜0，-x＞0，F（-x）=（-x）³+1=-x³+1，
∵y=F（x）是奇函數，
∴F（-X）=-F（X）∴F（x）=x³-1------（8分）
∵y=F（x）是定義在實數R上的函數；
∴F（0）=0
∴F(x)=

x3-1(x＜0) 0(x=0) x3+1(x＞0)

------（10分）     
其圖象如下圖所示：

點評：本題考查的知識點是函數圖象的作法，函數解析式的求解及常用方法，其中求出冪函數f（x）的解析式是解答的關鍵．