Question

已知定義在實(shí)數(shù)R上的函數(shù)y=f（x）不恒為零，同時(shí)滿(mǎn)足f（x+y）=f（x）f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，那么當(dāng)x＜0時(shí)，一定有（　　）

• A、f（x）＜-1
• B、-1＜f（x）＜0
• C、f（x）＞1
• D、0＜f（x）＜1

Answer 1

分析：根據(jù)f（x+y）=f（x）•f（y）恒成立，考慮取x=0代入，可得f（0）=1，再取x=-y，可得f（-y）=

1

f(y)

，再結(jié)合條件
x＞0時(shí)，有0＜f（x）＜1，經(jīng)過(guò)變形化簡(jiǎn)可得x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1成立．

解答：解：對(duì)任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，故f（1）＞1＞0
所以 f（0）=1
再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）•f（y）=1
所以f（-y）=

1

f(y)

，同理得f（-x）=

1

f(x)

，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，根據(jù)已知條件得f（-x）＞1，即

1

f(x)

＞1
變形得0＜f（x）＜1；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的函數(shù)值和取值范圍的求解，屬于中檔題．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是賦值和構(gòu)造，注意構(gòu)造的技巧在解決本題中的應(yīng)用．