Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且滿足

sinA

cosC

=

a

c

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求

3

sinA-cos(B+

π

4

)的最大值，并求取得最大值時角A的大小．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理，結合條件，可得tanC=1，從而可求角C的大小；
（Ⅱ）將

3

sinA-cos(B+

π

4

)化簡，結合角的范圍，即可求最大值．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理得

sinA

cosC

=

sinA

sinC

．
因為0＜A＜π，0＜C＜π．
所以sinA＞0．從而sinC=cosC．
又cosC≠0，所以tanC=1，則C=

π

4

．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=

3π

4

-A．
于是

3

sina-cos(B+

π

4

)=

3

sina-cos(π-A)=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)．
因為0＜A＜

3π

4

，所以

π

6

＜A+

π

6

＜

11π

12

，
所以當A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

時，2sin(A+

π

6

)取最大值2．
綜上所述，

3

sinA-cos(B+

π

4

)的最大值為2，此時A=

π

3

．…（9分）

點評：本題考查正弦定理，考查三角函數的化簡，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．