Question

已知函數f(x)=ex-

x2

2

-ax-1，（其中a∈R，e為自然對數的底數
（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）當x≥1時，若關于x的不等式f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=0時求出f（x）的解析式，根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=0處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可．
（2）將a分離出來得a≤

ex- x2 2 -1

x

，設g(x)=

ex- x2 2 -1

x

，然后利用導數研究函數g（x）在[1，+∞）上單調性，求出g（x）的最小值，使a≤g（x）_min即可．

解答：解：（1）當a=0時f(x)=ex-

x2

2

-1，∴f'（x）=e^x-x，∴f（0）=0，f'（0）=1，∴切線方程為y=x．（4分）
（2）∵x≥1，∴f(x)=ex-

x2

2

-ax-1≥0?a≤

ex- x2 2 -1

x

，（5分）
設g(x)=

ex- x2 2 -1

x

，則g′(x)=

(x-1)ex- x2 2 +1

x2

，（7分）
設?(x)=(x-1)ex-

x2

2

+1，則?'（x）=x（e^x-1）＞0，（9分）
∴?（x）在[1，+∞）上為增函數，∴?（x）≥?(1)=

1

2

＞0，∴g′(x)=

(x-1)ex- x2 2 +1

x2

＞0，
∴g(x)=

ex- x2 2 -1

x

在[1，+∞）上為增函數，∴g（x）≥g(1)=e-

3

2

，∴a≤e-

3

2

．（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題等有關知識，同時考查了計算能力，屬于中檔題．