Question

【題目】對定義域分別是、的函數(shù)，，一個函數(shù)：.

（Ⅰ）若，，寫出函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)，時，若函數(shù)有四個零點(diǎn)，分別為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2);(3).

【解析】分析：（I）可分和兩種情況得到分段函數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)不等式恒成立，可將不等式表示為，即，將問題轉(zhuǎn)化為求分段函數(shù)的最大值；（Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)與的定義域沒有交集，所以分或兩種情況得到函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性和對數(shù)的運(yùn)算得到特征求得 ，將表示為，利用函數(shù)特征求取值范圍.

詳解：（Ⅰ）由于 ，，依題意可得

當(dāng)時，

；

當(dāng)時，，

所以.

（Ⅱ）由(Ⅰ)可得時，，

當(dāng)，，

的最大值為．

又恒成立， 恒成立，等價于．

實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（Ⅲ）依題意可得

不妨設(shè)，結(jié)合圖像知，且，，

由得，所以，且，

當(dāng)時遞增，所以，

故的取值范圍是．