Question

下面關(guān)于三棱錐的四個命題：

①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐;

②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐;

③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐;

④側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.

其中，真命題的編號是__________________.

Answer 1

解析:①因側(cè)面與底面所成的二面角都相等,則棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的內(nèi)心.

又因底面是等邊三角形,故內(nèi)心即為底面正三角形的中心.所以①是真命題.②如圖,棱錐V—ABC的棱AB=BC=AC=VB=VC=1,VA=.此棱錐符合②的題設(shè)條件,但不是正三棱錐.

③當棱錐的頂點在底面的射影是底面三角形的旁心時,符合③的題設(shè)條件,但不是正三棱錐.

④側(cè)棱與底面所成的角都相等,側(cè)面與底面所成的二面角都相等,則棱錐的頂點在底面的射影既是三角形的內(nèi)心,又是三角形的外心,故三角形是正三角形.

    所以④是真命題.

答案:①④