Question

如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．

（1）試建立適當的坐標系，并寫出點P、B、D的坐標；
（2）問當實數a在什么范圍時，BC邊上能存在點Q，使得PQ⊥QD？
（3）當BC邊上有且僅有一個點Q使得PQ⊥QD時，求二面角Q-PD-A的大小．

Answer 1

（1）P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，a，0）．（2）a≥0．（3）．

試題分析：（1）以A為坐標原點，AB、AD、AP分
別為x、y、z軸建立坐標系如圖所示．∵PA=AB=1，BC=a，∴P（0，0，1），B（1，1，0），
D（0，a，0）．

（2）設點Q（1，x，0），則．
由，得x²-ax+1=0．
顯然當該方程有實數解時，BC邊上才存在點Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a²-4≥0．
因a>0，故a的取值范圍為a≥0．
（3）易見，當a=2時，BC上僅有一點滿足題意，此時x=1，即Q為BC的中點．
取AD的中點M，過M作MN⊥PD，垂足為N，連結QM、QN．則M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．
∵D、N、P三點共線，∴．
又，且，
故．于是．
故．
∵，∴．∴∠MNQ為所求二面角的平面角．
∵，∴所求二面角為．
點評：空間向量就是一把解決立體幾何問題的鑰匙，利用向量解答立體幾何問題實現了形向數的轉化，降低了問題解決的難度