Question

若一次函數(shù)f（x）滿足f[f（x）]=x+1，則g(x)=

f2(x)

x

(x＞0)的值域?yàn)?!--BA-->

[2，+∞）

．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）的形式是一次函數(shù)，利用待定系數(shù)先設(shè)出f（x），代入等式f[f（x）]=x+1，解方程求出f（x）得到g（x）的解析式，然后利用基本不等式可求出函數(shù)g（x）的值域．

解答：解：設(shè)f（x）=kx+b（k≠0）
∴f[f（x）]
=k（kx+b）+b
=k²x+kb+b
=k²x+（k+1）b…①
依題意：f[f（x）]=1+x…②
∴比較①和②的系數(shù)可得：
k²=1…③
（k+1）b=1…④
由③④得：k=1，b=

1

2

，k=-1（舍去）
∴f（x）=x+

1

2

則g（x）=

(x+ 1 2 )2

x

=x+

1

4x

+1≥2

x• 1 4x

+1=2
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時(shí)取等號(hào)
∴g(x)=

f2(x)

x

(x＞0)的值域?yàn)閇2，+∞）
故答案為：[2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及利用基本不等式求函數(shù)的值域，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．