Question

16、若定義在R上的函數f（x）滿足f（λx+μy）=λf（x）+μf（y）（x，y，λ，μ均為實數），則稱f（x）為R上的線性變換，現有下列命題：
①f（x）=2x是R上的線性變換；②若f（x）是R上的線性變換，則f（kx）=kf（x）（k∈R）；③若f（x）和g（x）均是R上的線性變換，則f（x）+g（x）是R上的線性變換；④f（x）是R上的線性變換的充要條件是f（x）是R上的一次函數．
其中是真命題的是

①②③

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：根據題目中新定義的線性變換的概念本質進行求解轉化是解決本題的關鍵，利用線性變換的定義完成四個命題的診斷．真命題的要加以證明，假命題要舉個反例．

解答：解：對于①，由于f（x）=2x，則f（λx+μy）=2λx+2μy，而λf（x）+μf（y）=2λx+2μy，所以f（λx+μy）=λf（x）+μf（y），故①為真命題；
對于②，由于f（x）是R上的線性變換，則對任意的實數x，y，λ，μ，均有f（λx+μy）=λf（x）+μf（y），令μ=0得，f（λx）=λf（x），即f（kx）=kf（x）（k∈R），故②為真命題；
對于③，若f（x）和g（x）均是R上的線性變換，則對任意的實數x，y，λ，μ，均有f（λx+μy）=λf（x）+μf（y），g（λx+μy）=λg（x）+μg（y），于是f（λx+μy）+g（λx+μy）=λf（x）+μf（y）+λg（x）+μg（y）=λ（f（x）+g（x））+μ（f（x）+g（x）），故f（x）+g（x）是R上的線性變換，所以③為真命題；
對于④，令f（x）=x-1，利用線性變換的定義可知f（x）不是R上的線性變換．故④為假命題．
故答案為：①②③．

點評：本題考查新定義型問題的解決方法，考查學生對概念的認識和把握程度，驗證一個函數是否為線性變換需要驗證是否滿足其定義，考查學生的轉化與化歸思想，整理化簡的能力和意識．