Question

【題目】設函數 ．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）存在極值，對于任意的0＜x1＜x2 ， 存在正實數x0 ， 使得f（x1）﹣f（x2）=f'（x0）（x1﹣x2），試判斷x1+x2與2x0的大小關系并給出證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）= ﹣ax+（4﹣a）=﹣ ，
當a≤0時，則f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
當a＞0時，則由f′（x）=0得，x= ，x=﹣1（舍去）；
當x∈（0， ）時，f′（x）＞0，當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＜0；
所以f（x）在（0， ）上單調遞增，在（ ，+∞）上單調遞減；
綜上所述，當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
當a＞0時，f（x）在（0， ）上單調遞增，在（ ，+∞）上單調遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＞0時，f（x）存在極值．
f（x1）﹣f（x2）=4（lnx1﹣lnx2）﹣ a（x1+x2）（x1﹣x2）+（4﹣a）（x1﹣x2），
由題設得f′（x0）= = ﹣ a（x1+x2）+（4﹣a），
又f′（ ）= ﹣a +4﹣a，
所以f′（x0）﹣f′（ ）= ，
設t= ，則t＞1，則 =lnt﹣ （t＞1），
令g（t）=lnt﹣ （t＞1），則g′（t）= ＞0，
所以g（t）在（1，+∞）上單調遞增，
所以g（t）＞g（1）=0，故 ＞0，
又因為x2﹣x1＞0，因此f′（x0）﹣f′（ ）＞0，即f′（ ）＜f′（x0），
又由f′（x） ﹣ax+（4﹣a）知f′（x）在（0，+∞）上單調遞減，
所以 ＞x0 ， 即x1+x2＞2x0
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）分別計算f′（x0）和f′（ ），作差得到f′（x0）﹣f′（ ）= ，設t= ，則t＞1，得到關于t的函數，根據函數的單調性判斷即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．