Question

11．已知函數$f（x）=ln（1+x）-\frac{x}{{{{（1+x）}^a}}}$，實數a＞0．
（Ⅰ）若a=2時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若x＞0時，不等式f（x）＜0恒成立，求實數a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=2時，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{（1+x）^{2}}$，f′（x）=$\frac{x（x+3）}{（1+x）^{3}}$．（x＞-1）．即可得出單調區間．
（Ⅱ）函數$f（x）=ln（1+x）-\frac{x}{{{{（1+x）}^a}}}$，實數a＞0．f（0）=0．（x＞0）．可得f′（x）=$\frac{（1+x）^{a}-（1+x-ax）}{（1+x）^{a+1}}$．令g（x）=（1+x）^a-（1+x）+ax，g（0）=0．對a分類討論，利用導數研究函數的單調性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）a=2時，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{（1+x）^{2}}$，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{（1+x）^{2}-2x（1+x）}{（1+x）^{4}}$=$\frac{x（x+3）}{（1+x）^{3}}$．（x＞-1）．
∴函數f（x）的單增區間為（0，+∞）；單減區間為（-1，0）．
（Ⅱ）函數$f（x）=ln（1+x）-\frac{x}{{{{（1+x）}^a}}}$，實數a＞0．f（0）=0．（x＞0）．
f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1+x-ax}{（1+x）^{a+1}}$
=$\frac{（1+x）^{a}-（1+x-ax）}{（1+x）^{a+1}}$．
令g（x）=（1+x）^a-（1+x）+ax，g（0）=0．
①當0＜a$≤\frac{1}{2}$時，g′（x）≤0，函數g（x）單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0．f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，∴f（x）＜f（0）=0，滿足條件．
②a$＞\frac{1}{2}$時，存在x₀＞0，使得g′（x₀）=0，g′（x）＞0，函數g（x）在（0，x₀）上單調遞增，g（x）＞g（0）．
從而f（x）在（0，x₀）上單調遞增，f（x）＞f（0）=0，不滿足條件，舍去．
綜上可得：a$≤\frac{1}{2}$．
即a的最大值為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、分類討論、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．