Question

在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中線AD的長為y，AB的長為x，
（1）建立y與x的函數關系式，并指出其定義域．
（2）求y的最小值，并指出x的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意畫出相應的圖形，可設∠ADC=θ，根據鄰補角定義可得∠ADB=π-θ，由AD為中線，得到D為BC中點，根據BC的長，得出BD與CD的長，再由AB+AC=3，AB=x，表示出AC，再由AD=y，在三角形ADC中，利用余弦定理列出關系式，記作①；在三角形ABD中，利用余弦定理列出另一個關系式，記作②，①+②整理后即可得到y與x的關系式，根據AC大于0，且由三角形的兩邊之和大于第三邊可列出關于x的不等式組，求出不等式的解集即可得到函數的定義域；
（2）把第一問得出的關系式的被開方數配方后，根據x的范圍，利用二次函數求出最值的方法即可得出被開方數的最小值，可得出y的最小值，

解答：解：根據題意畫出相應的圖形，如圖所示：

（1）設∠ADC=θ，則∠ADB=π-θ，…（2分）
∵AB=x，BC=2，AB+AC=3，中線AD=y，
∴BD=CD=1，AC=3-x，
在△ADC中，根據余弦定理AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC得：
1²+y²-2ycosθ=（3-x）²，①…（4分）
在△ADB中，根據余弦定理AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB得：
1²+y²-2ycos（π-θ）=1²+y²+2ycosθ=x²，②…（6分）
由①+②整理得：y=

x2-3x+ 7 2

，…（8分）
其中

0＜x＜3 x+2＞3-x (3-x)+2＞x

，解得：

1

2

＜x＜

5

2

，
∴函數的定義域為（

1

2

，

5

2

）；…（10分）
（2）y=

x2-3x+ 7 2

=

(x- 3 2 )2+ 5 4

，x∈（

1

2

，

5

2

），…（12分）
∴當x=

3

2

時，（x-

3

2

）²+

5

4

的最小值為

5

4

，
則ymin=

5

2

．…（14分）

點評：此題考查了余弦定理，二次函數的性質，以及三角形的邊角關系，熟練掌握余弦定理及二次函數的性質是解本題的關鍵．