Question

下列4個命題：

①已知是單位向量，|+|=|﹣2|，則在方向上的投影為；

②關于x的不等式a恒成立，則a的取值范圍是a；

③函數f（x）=alog₂|x|+x+b為奇函數的充要條件是a+b=0；

④將函數y=sin（2x+）圖象向右平移個單位，得到函數y=sin2x的圖象

其中正確的命題序號是　　（填出所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：

函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；命題的真假判斷與應用；必要條件、充分條件與充要條件的判斷；函數恒成立問題；向量的模．

專題：

計算題；三角函數的圖像與性質；平面向量及應用．

分析：

化簡①由已知化簡可得=，而要求的等于||cos＜，＞，代入化簡，即可判斷正誤．②不等式恒成立轉化成函數的最值進行判斷出；③通過舉反例對③進行判斷；④利用函數圖象的平移判斷正誤即可；

解答：

解：對于①，∵|+|=|﹣2|，∴（|+|）²=（|﹣2|）²，

展開化簡可得：=，

故在方向上的投影等于||cos＜，＞==，所以①正確．

對于②∵0≤sin²x≤1，令sin²x=t，

∴=t+，則令f（t）=t+，t∈[0，1]，

根據其圖象可知，當x＞時，f（t）為遞增的，當0＜x≤時，f（t）為遞減的，

∵t∈[0，1]，∴f（t）≥f（1）=1+2=3，∴≥3

∵a＜恒成立時，只要a小于的最小值即可，所以a＜3，所以②不正確．

對于③當a=1，b=﹣1時，雖然有a+b=0，但f（x）不是奇函數，故③錯，

對于④將函數y=sin（2x+）圖象向右平移個單位，得到函數y=sin（2x﹣）的圖象，所以④不正確．

正確只有①．

故答案為：①．

點評：

本題考查向量的投影，轉化為向量的數量積和模長來運算是解決問題的關鍵，不等式恒成立問題，考查的知識點比較多，屬基礎題．