Question

已知函數y=f（x），x∈R，有下列4個命題：
①若f（1+2x）=f（1-2x），則f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
②f（x-2）與f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱；
③若f（x）為偶函數，且f（2+x）=-f（x），則f（x）的圖象關于直線x=2對稱；
④若f（x）為奇函數，且f（x）=f（-x-2），則f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
其中正確的命題為

①②③④

．

Answer 1

分析：①令1-2x=t，則1+2x=2-t，f（1+2x）=f（1-2x）?f（2-t）=f（t），f（t）關于t=1，從而可判斷①正確；
②同①，用換元法可判斷②正確；
③根據條件可得到f（4-x）=f（x），圖象關于直線x=2對稱，正確；
④同③可得到，f（2-x）=f（x），f（x）的圖象關于直線x=1對稱，正確．

解答：解：對于①，令1-2x=t，則2x=1-t，1+2x=2-t，
∴f（1+2x）=f（1-2x）?f（2-t）=f（t）?f（2-x）=f（x），
∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱，正確；
②令x-2=t，則y=f（x-2）=f（t），y=f（2-x）=f（-t），顯然y=f（t）與y=f（-t）的圖象關于直線t=0，即x=2對稱，故②正確；
③∵f（x）為偶函數，且f（2+x）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即f（x）是4為周期的偶函數，
∴f（4-x）=f（-x）=f（x），
∴f（x）的圖象關于直線x=2對稱，正確；
④∵f（x）為奇函數，且f（x）=f（-x-2），
∴f（x+2）=-f（x）=f（-x），用-x代x得：
f（2-x）=f（x），
∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱，正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查抽象函數及其應用，突出考查抽象函數關于直線對稱問題，既有曲線自身的關于直線的對稱，也有兩曲線關于一直線的對稱問題，關鍵掌握曲線關于直線x=a對稱的規律：f（x）=f（2a-x），屬于難題．