Question

設A={1，2，3，4，5，6}，則滿足條件f（f（x））=f（x）的映射f：A→A的個數為（　　）

A．6⁶

B．720

C．960

D．1057

Answer 1

分析：由f[f（x）]=f（x）可知集合A={1，2，3，4，5，6}的像f（A）（即所有f（x）構成的集合）在映射f下保持不變，即對于任意x∈f（A）總有f（x）=x，則問題轉化為對f（A）的討論，根據組合數直接寫出各種情況的映射的個數，最后求和即可．

解答：解：由f[f（x）]=f（x）可知集合A={1，2，3，4，5，6}的像f（A）（即所有f（x）構成的集合）在映射f下保持不變，即對于任意x∈f（A）總有f（x）=x，則問題轉化為對f（A）的討論：
（1）f（A）中有6個元素時，只能為f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=4，f（5）=5，f（6）=6．共1種．
（2）f（A）中有5個元素時，比如f（A）={1，2，3，4，5}，只能為f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=4，f（5）=5，f（6）=1，2，3，4，5，共

C

5 6

×5=30種．
（3）f（A）中有4個元素時，比如f（A）={1，2，3，4}，只能為f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=4，f（5）=1，2，3，4，f（6）=1，2，3，4，共

C

4 6

×4²=240種．
（4）f（A）中有3個元素時，同理

C

3 6

×3³=540種．
（5）f（A）中有2個元素時，同理

C

2 6

×2⁴=240種．
（6）f（A）中有1個元素時，同理

C

1 6

×1=6種．
共1057種．
故選D．

點評：本題考查了映射、排列、組合及簡單計數問題知識，由于形式比較我，所以可分類討論就能做出答案．