Question

已知函數f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（Ⅰ）當a=3時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若f（x）在區間（0，）上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求單調區間，先求導，令導函數大于等于0即可．
（2）已知f（x）在區間（0，）上是減函數，即f′（x）≤0在區間（0，）上恒成立，然后用分離參數求最值即可．
解答：解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=-x²+3x+1-lnx
∴
解f'（x）＞0，即：2x²-3x+1＜0
函數f（x）的單調遞增區間是．
（Ⅱ）f′（x）=-2x+a-，∵f（x）在上為減函數，
∴x∈時-2x+a-＜0恒成立．
即恒成立．設，則
∵x∈時，＞4，
∴g′（x）＜0，∴g（x）在上遞減，
∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．
點評：本題考查函數單調性的判斷和已知函數單調性求參數的范圍，此類問題一般用導數解決，綜合性較強．