Question

9．求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）兩個焦點的坐標分別是（0，5），（0，-5），橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為26；
（2）焦點在坐標軸上，且經過A（$\sqrt{3}$，-2）和B（-2$\sqrt{3}$，1）兩點．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義求出a，可得b，即可求出橢圓的方程；
（2）設出橢圓方程，代入點的坐標，建立方程組，即可求得橢圓的標準方程．

解答 解：（1）由題意，2a=26，c=5，∴a=13，b=12，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{y}^{2}}{169}+\frac{{x}^{2}}{144}$=1；
（2）依題意，可設橢圓的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），則
點A（$\sqrt{3}$，-2）和B（-2$\sqrt{3}$，1）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3m+4n=1}\\{12m+n=1}\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{1}{15}$，n=$\frac{1}{5}$，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題．