Question

試比較nn+1與（n+1）n（n∈N*）的大小．

當n=1時，有nn+1 （n+1）n（填＞、=或＜）；

當n=2時，有nn+1 （n+1）n（填＞、=或＜）；

當n=3時，有nn+1 （n+1）n（填＞、=或＜）；

當n=4時，有nn+1 （n+1）n（填＞、=或＜）；

猜想一個一般性的結論，并加以證明．

 

Answer 1

＜，＜，＞，＞

【解析】

試題分析：本題考查的知識點是歸納推理與數學歸納法，我們可以列出nn+1與（n+1）n（n∈N*）的前若干項，然后分別比較其大小，然后由歸納推理猜想出一個一般性的結論，然后利用數學歸納法進行證明．

【解析】
當n=1時，nn+1=1，（n+1）n=2，此時，nn+1＜（n+1）n，

當n=2時，nn+1=8，（n+1）n=9，此時，nn+1＜（n+1）n，

當n=3時，nn+1=81，（n+1）n=64，此時，nn+1＞（n+1）n，

當n=4時，nn+1=1024，（n+1）n=625，此時，nn+1＞（n+1）n，

根據上述結論，我們猜想：當n≥3時，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．

①當n=3時，nn+1=34=81＞（n+1）n=43=64

即nn+1＞（n+1）n成立．

②假設當n=k時，kk+1＞（k+1）k成立，即：＞1

則當n=k+1時，=＞=＞1

即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即當n=k+1時也成立，

∴當n≥3時，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．