Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊為a，b，c，點（a，b）在直線x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上．
（I）求角C的值；
（II）若a²+b²=6（a+b）-18，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）由正弦定理，將已知等式的正弦轉化成邊，可得a（a-b）+b²=c²，即a²+b²-c²=ab．再用余弦定理可以算出C的余弦值，從而得到角C的值；
（II）將a²+b²=6（a+b）-18化簡整理，得a=b=3，結合C=

π

3

可得△ABC是邊長為3的等邊三角形，由此不難用等邊三角形的面積計算公式求出△ABC的面積S．

解答：解：（I）由題得a（sinA-sinB）+bsinB=csinC，
由正弦定理得a（a-b）+b²=c²，即a²+b²-c²=ab．
∴余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

3

．…（6分）
（II）∵a²+b²=6（a+b）-18，∴（a-3）²+（b-3）²=0，從而a=b=3．
∵C=

π

3

，
∴△ABC是邊長為3的等邊三角形，可得△ABC的面積S=

3

4

×3²=

9 3

4

…（12分）

點評：本題在△ABC中給出邊與角的正弦的等式，要我們求角的大小并且由此求三角形的面積，著重考查了正余弦定理和三角形面積公式等知識，屬于基礎題．