Question

【題目】已知函數，直線的方程為.

（1）若直線是曲線的切線，求證: 對任意成立；

（2）若對任意恒成立，求實數是應滿足的條件.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或.

【解析】試題分析：（1）根據切線的方程，寫出斜率和截距，構造新函數，對新函數求導，得到在x∈（-∞，t）上單調遞減，在x∈（t，+∞）為單調遞增，即得到函數的最小值，根據函數思想得到不等式成立．
（2）構造新函數，對新函數求導，判斷函數的單調性，針對于k的不同值，函數的單調性不同，需要進行討論，求出函數的最小值，得到要寫的條件．

試題解析：

（1）因為，設切點為， 所以，

所以直線的方程為: ，

令函數，

即，

所以在單調遞減，在單調遞增，

所以

故，

即對任意成立.

（2）令

①當時， ，則在單調遞增，

所以

即，符合題意.

②當時， 在上單調遞減，在單調遞增,

所以

即

綜上所述：滿足題意的條件是或