Question

【題目】已知函數f（x）=|2x﹣a|+a．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集為{x|﹣2≤x≤3}，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若存在實數n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）=|2x﹣a|+a，故不等式f（x）≤6，即 ，求得 a﹣3≤x≤3．
再根據不等式的解集為{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴實數a=1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f（x）=|2x﹣1|+1，∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在實數n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，
即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．
由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值為2，∴m≥4，
故實數m的取值范圍是[4，+∞）
【解析】（Ⅰ）不等式f（x）≤6，即 ，求得a﹣3≤x≤3．再根據不等式的解集為{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，從而求得實數a的值．（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f（n）=|2n﹣1|+1，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值為2，可得m的范圍．