Question

已知函數f（x）=（x²-3x+3）e^x．
（Ⅰ）如果f（x）定義在區間[-2，t]（t＞-2）上，那么
①當t＞1時，求函數y=f（x）的單調區間；
②設m=f（-2），n=f（t）．試證明：m＜n；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）+（x-2）e^x，當x＞1時，試判斷方程g（x）=x根的個數．

Answer 1

分析：（I）利用導數的運算法則即可得出f′（x）．①當t＞1時，分當x∈（-2，0）時；當x∈（0，1）時；當x∈（1，t）時，判斷f′（x）的符號即可得出其單調性．②設h（t）=n-m，利用導數研究其單調性、極值即可；
（II）利用導數（通過多次求導）研究其單調性即可．

解答：解：（I）f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=x（x-1）e^x．
①當t＞1時，
當x∈（-2，0）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（1，t）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
綜上可知：當x∈（-2，0），（1，t）時，函數f（x）單調遞增；當x∈（0，1）時，函數f（x）單調遞減．
②設h（t）=n-m=（t²-3t+3）e^t-13e^-2，h′（t）=t（t-1）e^t（t＞2），列表如下：
由表格可知h（t）的極小值為h（1）=e-

13

e2

=

e3-13

e2

＞0，而h（-2）＞0，
∴當t＞-2時，h（t）＞h（-2），即n＞m．
（II）g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x-1）²e^x，
問題轉化為：判定方程（x-1）²e^x=x當x＞1時，根的個數．
設u（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），則u′（x）=（x²-1）e^x-1，
設v（x）=（x²-1）e^x-1（x＞1），則v′（x）=（x²+2x-1）e^x，
當x＞1時，v′（x）＞0，v（x）在（1，+∞）上單調遞增，而v（1）=-1＜0，v（2）=3e²-1＞0，
因此在（1，2）上存在唯一x₀，使得v（x₀）=0，即存在唯一x₀∈（1，2）使得u′（x₀）=0，
列表如下：
可知：u（x）_min=u（x₀）＜u（1）=-1＜0，由u（2）=e²-2＞0，y=u（x）的圖象如圖所示，因此y=u（x）在（1，+∞）只有一個零點，即g（x）=x（x＞1）只有一個零點．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值是解題的關鍵．