Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn，且（n∈N*）．

（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；

（Ⅱ）已知等比數列{bn}是遞增的，且首項b1和公比q分別是方程（x2﹣4）（x2﹣1）＝0實根，求數列的前n項和為Tn．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝2n+1，n∈N；（Ⅱ）Tn＝8﹣（n+2）（）n﹣2．

【解析】

（Ⅰ）利用an＝Sn﹣Sn﹣1即得解；

（Ⅱ）先求解方程得到b1，q，得到bn＝n（）n﹣2，乘公比錯位相減法即可得解.

（Ⅰ）（n∈N*），可得a1＝S1＝3，

n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+2n﹣（n﹣1）2﹣2（n﹣1）＝2n+1，

上式對n＝1也成立，則an＝2n+1，n∈N；

（Ⅱ）等比數列{bn}是遞增的，可得q＞1，b1＞0，

且首項b1和公比q分別是方程（x2﹣4）（x2﹣1）＝0實根，

可得b1＝1，q＝2，

則bn＝2n﹣1，n（）n﹣2，

Tn＝1（）﹣1+2（）0+3（）1+…+n（）n﹣2，

Tn＝1（）0+2（）1+3（）2+…+n（）n﹣1，

兩式相減可得Tn＝（）﹣1+（）0+（）1+…+（）n﹣2﹣n（）n﹣1

n（）n﹣1，

化簡可得Tn＝8﹣（n+2）（）n﹣2．