Question

已知冪函數f（x）=x-2m2+m+3(m∈Z) 為偶函數，且在（0，+∞）上是增函數．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1）在區間[2，3]上為增函數，求實數a的取值集合．

Answer 1

分析：（1）利用函數的奇偶性和冪函數的單調性即可求出；
（2）利用二次函數、對數函數和復合函數的單調性即可求出．

解答：解：（1）∵冪函數f（x）=x-2m2+m+3(m∈Z) 為偶函數，且在（0，+∞）上是增函數．
∴

-2m2+m+3為偶數 -2m2+m+3＞0

，解得m=1，此時f（x）=x²．
（2）由（1）可知：g(x)=loga(x2-ax)（a＞0，且a≠1）．
∵x²-ax＞0，∴x（x-a）＞0，∴0＞x或x＞a，∴函數g（x）的定義域為{x|a＜x或x＜0}，且g(x)=loga[(x-

a

2

)2-

a2

4

]．
①當a＞1時，g（u）=log_au在區間（0，+∞）上單調遞增，
∵已知函數g（x）在區間[2，3]上為增函數，
且函數y=(x-

a

2

)2-

a2

4

在區間(

a

2

，a)上單調遞增，
∴

a

2

≤2，∴a≤4，
∵a＞1，∴1＜a≤4．
②當0＜a＜1時，g（u）=log_au在區間（0，+∞）上單調遞減，
∵已知函數g（x）在區間[2，3]上為增函數，
當滿足函數y=(x-

a

2

)2-

a2

4

在區間(0，

a

2

)上單調遞減時適合要求，
∴3≤

a

2

，解得a≥6，而0＜a＜1，故無解．
綜上可知：實數a的取值集合是{a|1＜a≤4}．

點評：充分理解冪函數的單調性、對數函數的單調性和復合函數單調性是解題的關鍵．