Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上的一點到其左、右焦點的距離之差為4，若已知拋物線y=ax²上的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關于直線y=x+m對稱，且x1x2=-

1

2

，則m的值為（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  2

• C．

  5

  4

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，A點坐標是（x₁，2x₁²），B點坐標是（x₂，2x₂²） A，B的中點坐標是（

x1+x2

2

，

2x12+2x22

2

） 因為A，B關于直線y=x+m對稱，所以A，B的中點在直線上，且AB與直線垂直

2x12+2x22

2

=

x1+x2

2

+m，由此能求得m．

解答：解：y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，
A點坐標是（x₁，2x₁²），B點坐標是（x₂，2x₂²），
A，B的中點坐標是（

x1+x2

2

，

2x12+2x22

2

），
因為A，B關于直線y=x+m對稱，
所以A，B的中點在直線上，
且AB與直線垂直

2x12+2x22

2

=

x1+x2

2

+m，

2x22-2x12

x2-x1

=-1，
x₁²+x₂²═

x1+x2

2

+m，x₂+x₁=-

1

2

，
因為x1x2=-

1

2

，
所以xx₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

5

4

，
代入得

5

4

=-

1

4

+m，求得m=

3

2

．
故選B．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．