Question

（2012•廣元三模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（I）求角B的大小；
（II）設向量

m

=（sinA，cos2A），

n

=（2cosA，1），f（A）=

m

•

n

，求f（A）取得最大值和最小值時A的值．

Answer 1

分析：（I）先利用正弦定理將（2a-c）cosB=bcosC中的邊化為角，再利用兩角和的正弦公式將三角函數式化簡即可得cosB=

1

2

，從而由角B的范圍得B值
（II）先利用向量數量積運算性質，求得函數f（A）的解析式，再利用二倍角公式和兩角和的正弦公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）型函數，利用角A的范圍，求得f（A）取得最大值和最小值時A的值

解答：解：（I）由正弦定理得；（2a-c）cosB=bcosC?（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
?2sinAcosB=sin（B+C）=sinA
∴cosB=

1

2

，又B∈（0，π）
∴B=

π

3

（II）f（A）=

m

•

n

=2sinAcosA+cos2A=sin2A+cos2A=

2

sin（2A+

π

4

）
由（I）知，0＜A＜

2π

3

，∴

π

4

＜2A+

π

4

＜

19π

12

∴2A+

π

4

=

π

2

即A=

π

8

時，f（A）取最大值

2

2A+

π

4

=

3π

2

即A=

5π

8

時，f（A）取最小值-

2

點評：本題主要考查了正弦定理得應用，利用三角變換公式化簡和求值的能力，y=Asin（ωx+φ）型函數的性質應用，屬中檔題