Question

△ABC的三個內角A、B、C依次成等差數列；
（Ⅰ）若sin²B=sinAsinc，試判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）若△ABC為鈍角三角形，且a＞c，試求代數式sin2

C

2

+

3

sin

A

2

COS

A

2

-

1

2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△ABC的三個內角A、B、C依次成等差數列，以及sin²B=sinAsinc，推出B=60°，a=c，即可判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）利用二倍角公式，兩角和的正弦函數公式化簡sin2

C

2

+

3

sin

A

2

COS

A

2

-

1

2

為一個角的一個三角函數的形式，根據A的范圍確定表達式的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵sin²B=sinAsinC，∴b²=ac．
∵A，B，C依次成等差數列，∴2B=A+C=π-B，B=

π

3

．
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，a²+c²-ac=ac，∴a=c．
∴△ABC為正三角形．
（Ⅱ）sin2

C

2

+

3

sin

A

2

cos

A

2

-

1

2

=

1-cosC

2

+

3

2

sinA-

1

2

=

3

2

sinA-

1

2

cos(

2π

3

-A)
=

3

2

sinA+

1

4

cosA-

3

4

sinA
=

3

4

sinA+

1

4

cosA
=

1

2

sin(A+

π

6

)
∵

π

2

＜A＜

2π

3

，∴

2π

3

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)＜

3

2

，

1

4

＜

1

2

sin(A+

π

6

)＜

3

4

．
∴代數式sin2

C

2

+

3

sin

A

2

cos

A

2

+

3

2

的取值范圍是(

1

4

，

3

4

)．

點評：本題是中檔題，考查三角函數化簡求值，正弦定理的應用，二倍角公式、兩角和的正弦公式的應用，函數值域的確定，考查計算能力．