Question

已知a＞0，函數（其中e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）求函數f（x）在區間（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）設數列{a_n}的通項，S_n是前n項和，證明：S_n-1＜lnn（n≥2）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數，令其等于0，可得x=a．若a≥e時，函數f（x）在區間（0，e]是減函數；0＜a＜e時，函數f（x）在區間（0，a]是減函數，[a，e]是增函數，故可得函數f（x）在區間（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）先證明在[1，+∞）上成立，令得  ，再令k=1，2，3，…，（n-1），疊加，即可得出結論．
解答：（Ⅰ）解：求導函數，令其等于0，即，可得x=a
若a≥e時，函數f（x）在區間（0，e]是減函數，∴；
0＜a＜e時，函數f（x）在區間（0，a]是減函數，[a，e]是增函數，∴f（x）_min=f（a）=lna；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，a=1時，函數f（x）在定義域的最小值為0，∴在[1，+∞）上成立
令得  
令k=1，2，3，…，（n-1），可得，，…，
∵數列{a_n}的通項，S_n是前n項和，∴疊加，可得S_n-1＜lnn（n≥2）
點評：本題考查導數知識的運用，考查分類討論的數學思想，考查不等式的證明，解題的關鍵是正確求導函數．