Question

已知a為常數，函數f（x）=ln（

1+x2

+x）+ax．
（1）若a≥0，求證：函數f（x）在其定義域內是增函數；
（2）若a＜0，試求函數f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）先證明函數的定義域為R，再利用導數運算法則計算函數的導函數f′（x），最后由已知a≥0證明f′（x）＞0即可得證
（2）由（1）可知函數的導函數，通過解不等式f′（x）＜0即可的函數的單調區間，但由于此不等式中含參數，故需對參數a的范圍進行討論

解答：解：（1）證明∵

1+x2

＞|x|，∴函數定義域為R
∵f′（x）=

( 1+x2 +x)′

1+x2 +x

+a=

( 1+x2 )′+1

1+x2 +x

+a=

x 1+x2 +1

1+x2 +x

+a=

1

1+x2

+a
∵a≥0，∴f′（x）＞0
∴函數f（x）在其定義域R內是增函數
（2）解：∵f′（x）=

1

1+x2

+a  且a＜0
∴f′（x）＜0?x2＞

1-a2

a2

①當a≤-1時，f′（x）≤0恒成立且不恒等于零，故函數的單調減區間為（-∞，+∞）
②當-1＜a＜0時，原函數的單調減區間為（-∞，

1-a2

a

），（-

1-a2

a

，+∞）

點評：本題考察了導數的四則運算法則，復合函數求導方法，證明函數單調性和求函數單調區間的方法