Question

（2013•茂名二模）數列{a_n}的前n項和S_n，a₁=t，點（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，（n=1，2，…）
（1）若數列{a_n}是等比數列，求實數t的值；
（2）設b_n=（n+1）•log₃a_n+1，數列{

1

bn

}前n項和T_n．在（1）的條件下，證明不等式T_n＜1；
（3）設各項均不為0的數列{c_n}中，所有滿足c_i•c_i+1＜0的整數i的個數稱為這個數列{c_n}的“積異號數”，在（1）的條件下，令c_n=

nan-4

nan

（n=1，2，…），求數列{c_n}的“積異號數”

Answer 1

分析：（1）利用點（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，可得a_n+1=2S_n+1，再寫一式，兩式相減，利用a₁=t，數列{a_n}是等比數列，從而可求t的值；
（2）確定數列{

1

bn

}的通項，利用裂項法求數列的和，即可證得結論；
（3）先確定c₁c₂=-1，再證明數列{c_n}是遞增數列，即可求數列{c_n}的“積異號數”．

解答：（1）解：因為點（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，所以a_n+1=2S_n+1
所以n≥2時，a_n=2S_n-1+1
兩式相減可得a_n+1-a_n=2a_n
所以a_n+1=3a_n（n≥2）
∵a₁=t，數列{a_n}是等比數列，
∴

a2

a1

=

2t+1

t

=3，∴t=1；
（2）證明：由（1）得b_n=（n+1）•log₃a_n+1=n（n+1）
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1；
（3）解：由（1）知，an=3n-1
∴c_n=

nan-4

nan

=1-

4

n•3n-1

∴c₁=1-4=-3，c2=1-

4

2×3

=

1

3

∴c₁c₂=-1
∵cn+1-cn=1-

4

(n+1)•3n

-1+

4

n•3n-1

=

4(2n+3)

n(n+1)•3n

＞0
∴數列{c_n}是遞增數列
∵c2=1-

4

2×3

=

1

3

＞0，∴n≥2時，c_n＞0
∴數列{c_n}的“積異號數”為1

點評：本題考查數列的通項與求和，考查新定義，考查學生的計算能力，確定數列的通項是關鍵．