Question

已知數列a_n，其前n項和為Sn=

3

2

n2+

7

2

n? (n∈N*)．
（Ⅰ）求數列a_n的通項公式，并證明數列a_n是等差數列；
（Ⅱ）如果數列b_n滿足a_n=log₂b_n，請證明數列b_n是等比數列，并求其前n項和；
（Ⅲ）設cn=

9

(2an-7)(2an-1)

，數列{c_n}的前n項和為T_n，求使不等式T_n＞

k

57

對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值．

Answer 1

（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=5，（1分）
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

3

2

[n2-(n-1)2]+

7

2

[n-(n-1)]=

3

2

(2n-1)+

7

2

=3n+2．（2分）
又a₁=5滿足a_n=3n+2，（3分）
∴a_n=3n+2?（n∈N^*）．（4分）
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3（n≥2，n∈N^*），
∴數列a_n是以5為首項，3為公差的等差數列．（5分）

（Ⅱ）由已知得bn=2an（n∈N^*），（6分）
∵

bn+1

bn

=

2an+1

2an

=2an+1-an=23=8（n∈N^*），（7分）
又b1=2a1=32，
∴數列b_n是以32為首項，8為公比的等比數列．（8分）
∴數列b_n前n項和為

32(1-8n)

1-8

=

32

7

(8n-1)．（9分）

（Ⅲ）cn=

9

(2an-7)(2an-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)（10分）
∴Tn=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．（11分）
∵Tn+1-Tn=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0（n∈N^*），
∴T_n單調遞增．
∴(Tn)min=T1=

1

3

．（12分）
∴

1

3

＞

k

57

，解得k＜19，因為k是正整數，∴k_max=18．（13分）