Question

已知數列a_n，其前n項和為．
（Ⅰ）求數列a_n的通項公式，并證明數列a_n是等差數列；
（Ⅱ）如果數列b_n滿足a_n=log₂b_n，請證明數列b_n是等比數列，并求其前n項和；
（Ⅲ）設，數列{c_n}的前n項和為T_n，求使不等式T_n＞對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用
（Ⅱ）用等比數列的定義證明；先判斷公比是否為1，再選擇等比數列的前 n 項和公式求解
（Ⅲ）裂項求和求T_n，判斷T_n-T_n+1的正負，證明數列{T_n}的單調性，求出T_n的最值，解k
解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=5，（1分）
當n≥2時，=．（2分）
又a₁=5滿足a_n=3n+2，（3分）
∴a_n=3n+2?（n∈N^*）．（4分）
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3（n≥2，n∈N^*），
∴數列a_n是以5為首項，3為公差的等差數列．（5分）

（Ⅱ）由已知得（n∈N^*），（6分）
∵（n∈N^*），（7分）
又，
∴數列b_n是以32為首項，8為公比的等比數列．（8分）
∴數列b_n前n項和為．（9分）

（Ⅲ）（10分）
∴=．（11分）
∵（n∈N^*），
∴T_n單調遞增．
∴．（12分）
∴，解得k＜19，因為k是正整數，∴k_max=18．（13分）
點評：當已知條件中含有S_n，會用，由前n項和求通項公式，是高考對數列部分的考查的重點，本題綜合考查由和求項、等差數列的證明，等比數列的求和公式，及裂項求和，把握好裂項相消后余下的項．