Question

17．設命題p：?m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m^2}+8}$恒成立，
命題q：函數f（x）=lg（x²-4x+a²）的定義域為R；
如果命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 因為命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，所以p，q一真一假，進而得到答案．

解答 解：∵m∈[-1，1]，
∴$\sqrt{{m^2}+8}$∈[2$\sqrt{2}$，3]，
若不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m^2}+8}$恒成立，
則a²-5a-3≥3，
則a≤-1，或a≥6，
因為函數f（x）=lg（x²-4x+a²）的定義域為R
，所以x²-4x+a²＞0恒成立，
即△=16-4a²＜0，解得a＜-2或a＞2．
因為命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，
所以p，q一真一假，
（1）p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}a≥6或a≤-1\\-2≤a≤2\end{array}\right.$，解得-2≤a≤-1；
（2）$\begin{array}{l}p假q真時\end{array}$，$\left\{\begin{array}{l}-1＜a＜6\\ a＜-2或a＞2\end{array}\right.$，解得2＜a＜6．
綜上所述：a的取值范圍為[-2，-1]∪（2，6）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數的單調性，二次方程根的個數判斷等知識點，難度中檔．