Question

用數學歸納法證明不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

＞

13

24

的過程中，由n=k推導n=k+1時，不等式的左邊增加的式子是

1

(k+1)+k

+

1

(k+1)+(k+1)

-

1

k+1

．

Answer 1

分析：準確寫出當n=k時，左邊的代數式，當n=k+1時，左邊的代數式，相減可得結果．注意分母及項數的變化．

解答：解：當n=k時，左邊的代數式為

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

k+k

，（共k項）
當n=k+1時，左邊的代數式為

1

k+1+1

+

1

k+1+2

+…+

1

k+1+k

+

1

k+1+(k+1)

（共k+1項）
故用n=k+1時左邊的代數式減去n=k時左邊的代數式的結果，

1

(k+1)+k

+

1

(k+1)+(k+1)

-

1

k+1

即為不等式的左邊增加的項．
故答案為：

1

(k+1)+k

+

1

(k+1)+(k+1)

-

1

k+1

．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若（1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．