Question

已知命題P：方程x²+（a²-1）x+a-2=0的兩根為x₁和x₂，且x₁＜1＜x₂＜2；命題q：方程|x|+|x-

1

2

|＞a恒成立；若P或q為真，P且q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據方程的根與函數零點的對應關系，根據方程x²+（a²-1）x+a-2=0的兩根為x₁和x₂，且x₁＜1＜x₂＜2，我們可得對應函數f（x）=x²+（a²-1）x+a-2的兩個零點分別位于區間（-∞，1），（1，2）上，結合二次函數的圖象和性質可得

f(1)＜0 f(2)＞0

解不等式可得命題p為真時，參數a的范圍，根據方程|x|+|x-

1

2

|＞a恒成立，結合g（x）=|x|+|x-

1

2

|≥

1

2

恒成立，我們易求出命題q為真時，參數a的范圍，結合P或q為真，P且q為假，可得P與q中必然一真一假，分別討論p真q假時與p假q真時參數a的范圍，綜合討論結果，即可得到參數a的范圍．

解答：解：∵方程x²+（a²-1）x+a-2=0的兩根為x₁和x₂，
若x₁＜1＜x₂＜2成立
令f（x）=x²+（a²-1）x+a-2
則

f(1)＜0 f(2)＞0

即

a2+a-2＜0 2a2+a＞0

解得a∈（-2，-

1

2

）∪（0，1）
令g（x）=|x|+|x-

1

2

|
則g（x）≥

1

2

恒成立
若方程|x|+|x-

1

2

|＞a恒成立
則a∈（-∞，

1

2

）
又∵P或q為真，P且q為假，
故P與q中必然一真一假
當p真q假時，a∈[

1

2

，1）
當p假q真時，a∈（-∞，-2]∪[-

1

2

，0]
綜上實數a的取值范圍為：（-∞，-2]∪[-

1

2

，0]∪[

1

2

，1）

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，方程根與函數零點的關系，二次函數的圖象和性質，絕對值函數的圖象和性質，函數恒成立問題，其中分別求出命題p，q為真是參數a的取值范圍，是解答本題的關鍵．