Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+b|．
（Ⅰ）若不等式f（x）＜3的解集是（-1，2），求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）解不等式f（x）＜3 求得

-3-b

2

＜x＜

3-b

2

，再根據(jù)不等式的解集是（-1，2），可得

-3-b 2 =-1 3-b 2 =2

，由此求得實數(shù)b的值．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，根據(jù)|2x+5|+|2x+1|≥m對一切實數(shù)x恒成立，因為|2x+5|+|2x+1|≥4，可得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜3，即|2x+b|＜3，即-3＜2x+b＜3，求得

-3-b

2

＜x＜

3-b

2

．
再根據(jù)不等式的解集是（-1，2），可得

-3-b 2 =-1 3-b 2 =2

，求得實數(shù)b=-1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m對一切實數(shù)x恒成立，
得|2x+5|+|2x+1|≥m對一切實數(shù)x恒成立．
因為|2x+5|+|2x+1|≥|2x+5-2x-1|=4，所以m≤4．

點評：本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，一般遇到不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為最值問題進行解答，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．