Question

18．已知a，b，c，d都是正實數，且a+b+c+d=1，求證：$\frac{a^2}{1+a}$+$\frac{b^2}{1+b}$+$\frac{c^2}{1+c}$+$\frac{d^2}{1+d}$≥$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 根據基本不等式的性質即可證明．

解答 證明：∵$[（1+a）+（1+b）+（1+c）+（1+d）]（\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}+\frac{c^2}{1+c}+\frac{d^2}{1+d}）$
$≥{（\sqrt{1+a}•\frac{a}{{\sqrt{1+a}}}+\sqrt{1+b}•\frac{b}{{\sqrt{1+b}}}+\sqrt{1+c}•\frac{c}{{\sqrt{1+c}}}+\sqrt{1+d}•\fracp9vv5xb5{{\sqrt{1+d}}}）^2}$
=（a+b+c+d）²=1，
又（1+a）+（1+b）+（1+c）+（1+d）=5，
∴$\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}+\frac{c^2}{1+c}+\frac{d^2}{1+d}≥\frac{1}{5}$．

點評 本題考查了基本不等式的證明，關鍵是掌握基本不等式的性質，屬于中檔題．