Question

若函數(shù)f（x+1）=-f（x），當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=x，若在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，g（x）=f（x）-mx-m恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A．（0，

  1

  2

  ]
• B．[

  1

  2

  ，+∞）
• C．[0，+∞）
• D．（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：由題意可得函數(shù)f（x）是周期等于2的周期函數(shù)，f（x）=

x ， x∈(0 ，1]  -x-1 ， x∈(-1，0]

，表示2條線段．由條件得，在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=mx+m的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得直線的斜率m滿足 0＜m≤

1-0

1+1

，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期等于2的周期函數(shù)．
 當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=x，故x∈（-1，0]時(shí)，
（x+1）∈（0，1]，f（x+1）=-f（x）=x+1，
∴f（x）=-x-1，即 f（x）=

x ， x∈(0 ，1]  -x-1 ， x∈(-1，0]

，表示2條線段．
∵在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m 恰有一個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=mx+m的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
如圖所示：故有 0＜m≤

1-0

1+1

，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，

1

2

]，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．本題考查了利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性求變量的取值范圍和代入法求函數(shù)解析式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，以及利用函數(shù)圖象解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．也考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問題的能力，屬于中檔題．