Question

已知點P(2，－1)，求：

(1)過點P且與原點的距離為2的直線方程；

(2)過點P且與原點的距離最大的直線方程，并求出最大值；

(3)是否存在過點P且與原點的距離為6的直線？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)若所求直線斜率k不存在，

則過P的直線l：x＝2.

∵原點到l的距離為2，∴直線x＝2即為所求.

若l斜率存在，則設l：y＋1＝k(x－2)，

即kx－y－2k－1＝0.

由已知得＝2，

∴k＝，∴直線l：y＋1＝(x－2)，

即3x－4y－10＝0.

∴所求直線方程為x－2＝0或3x－4y－10＝0.

(2)由題設條件知，所求直線l與直線OP(O為原點)垂直時，過點P的直線與原點距離最大，且最大值|OP|＝，此時k_OP＝－，∴k_l＝2.

∴l的方程為y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.

(3)由于原點到過點(2，－1)的直線的最大距離為，而6＞，

所以這樣的直線不存在.