Question

已知點P(

2

，1)在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，且它到雙曲線一個焦點F的距離是1．
（1）求雙曲線方程；   
（2）過F的直線L₁交雙曲線于A，B兩點，若弦長|AB|不超過4，求L₁的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由點P(

2

，1)在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，且它到雙曲線一個焦點F的距離是1，知

( 2 -c)2+(1-0)2

=1，即c=

2

，設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

2-a2

=1，把點P(

2

，1)代入，能求出雙曲線方程．
（2）由雙曲線方程是x²-y²=1，知F（

2

，0），故直線L₁的方程是：y=k(x-

2

)，由

y=k(x- 2 ) x2-y2=1

，得（1-k²）x²+2

2

k2x-2k2-1=0，由此利用弦長公式能求出L₁的斜率的取值范圍．

解答：解：（1）∵點P(

2

，1)在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
且它到雙曲線一個焦點F的距離是1，
∴

( 2 -c)2+(1-0)2

=1，即c=

2

，
設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

2-a2

=1，
把點P(

2

，1)代入，得

2

a2

-

1

2-a2

=1，
整理，得a⁴-5a²+4=0，解得a²=1，或a²=4（舍），
∴雙曲線方程是x²-y²=1．
（2）∵雙曲線方程是x²-y²=1，∴F（

2

，0），
∴直線L₁的方程是：y=k(x-

2

)，
由

y=k(x- 2 ) x2-y2=1

，得（1-k²）x²+2

2

k2x-2k2-1=0，
當k=±1時，直線y=k(x-

2

)與雙曲線的漸近線平行，弦長為0，成立．
當k≠±1時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2 2 k2

k2-1

，x1x2=

2k2+1

k2-1

，
|AB|=

(1+k2)[( 2 2 k2 k2-1 )2- 8k2+4 k2-1 ]

≤4，
∴（1+k²）•

4k2+4

(k2-1)2

≤16，
整理，得3k⁴-10k²+3≥0，
解得k²≥3，或k2≤

1

3

，
∴k≥

3

，或k≤-

3

，或-

3

3

≤k≤

3

3

，
綜上所述，L₁的斜率的取值范圍是{k|k≥

3

，或k≤-

3

，或-

3

3

≤k≤

3

3

，或k=±1}．

點評：本題考查雙曲線方程的求法和求直線求的斜率的取值范圍．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，注意弦長公式的靈活運用，易錯點是容易忽視直線與雙曲線漸近線平行的情況．