Question

【題目】如圖，已知圓E：經過橢圓C：（）的左右焦點，，與橢圓C在第一象限的交點為A，且，E，A三點共線.

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在與直線（O為原點）平行的直線l交橢圓C于M，N兩點.使，若存在，求直線l的方程，不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）求出圓E與x軸的交點即可求得c，由，E，A三點共線推出為圓E的直徑且，勾股定理求出，利用橢圓的定義即可求出a，進而求出b，即可求得橢圓的標準方程；（2）設出直線方程，聯立直線與橢圓的方程，由韋達定理求出、的表達式，對進行數量積的坐標運算即可求得參數m.

（1）令，則，解得，所以，

因為，E，A三點共線，所以為圓E的直徑，且，

所以.

因為，所以，

則，，，

所以橢圓C的方程為.

（2）由，則，

假設存在直線l：滿足條件，

由，得

設直線l交橢圓C于點，，

則，，且，即，

，

，，解得，

故存在直線l：滿足條件