Question

給定兩個命題：p：對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立；q：關于x的方程x²-x+a=0有實數根；如果“p∨q”為真，且“p∧q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：先確定命題P，Q為真時，a的范圍，再利用P為真命題，Q為假命題，即可求實數a的取值范圍．

解答： 解：對于命題p：當a=0，不等式ax²+ax+1＞0變為1＞0，對任意實數x恒成立；
當a≠0時，對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立，需

a＞0 △=a2-4a＜0

解得0＜a＜4；
∴p為真命題時，0≤a＜4；
對于命題q：方程x²-x+a=0有實數根；
∴△=1-4a≥0
解得a≤

1

4

；
∵“p∨q”為真，且“p∧q”為假，
∴p，q中有一個是真命題一個是假命題；
當p真q假時，

0≤a＜4 a＞ 1 4

即

1

4

＜a＜4；
當p假q真時，

a＜0或a≥4 a≤ 1 4

即0＜a≤

1

4

；
總之數a的取值范圍0＜a＜4．

點評：本題考查命題真假的判斷，關鍵是由“p∨q”為真，且“p∧q”為假，判定出p，q中有一個是真命題一個是假命題；屬于基礎題．