Question

函數f（x）=（a-

1

ex-1

）sinx是偶函數，則常數a等于（　　）

• A．-1
• B．1
• C．-

  1

  2

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：根據題意，f（-x）=f（x）對x∈R成立，結合正弦函數在R上是奇函數，得a-

1

e-x-1

=-（a-

1

ex-1

）對x∈R成立，再將此等式化簡整理，即可得到常數a的值．

解答：解：∵函數f（x）=（a-

1

ex-1

）sinx是偶函數，
∴f（-x）=f（x），即（a-

1

e-x-1

）sin（-x）=（a-

1

ex-1

）sinx
∵sin（-x）=-sinx，對x∈R成立
∴a-

1

e-x-1

=-（a-

1

ex-1

），對x∈R成立，
整理，得

1

ex-1

+

1

e-x-1

=2a，即

1

ex-1

+

ex

1-ex

=2a
∴2a=

1-ex

ex-1

=-1，可得a=-

1

2

故選：C

點評：本題給出含有指數且含有三角函數的函數為奇函數，求參數a的值，著重考查了含有指數的式子化簡和正弦函數的奇偶性等知識，屬于基礎題．