Question

已知函數f（x）=4lnx-ax+

a+3

x

（a≥0）
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）當a≥1時，設g（x）=2e^x-4x+2a，若存在x₁，x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）＞g（x₂），求實數a的取值范圍．（e為自然對數的底數，e=2.71828…）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數f（x）的定義域、f′（x），然后解關于x的不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（Ⅱ）存在x₁，x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）＞g（x₂）可轉化為在[

1

2

，2]上f（x）的最大值大于g（x）的最小值，進而轉化為求f（x）、g（x）在[

1

2

，2]上的最大值、最小值問題．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=

4

x

-a-

a+3

x2

=

-ax2+4x-(a+3)

x2

，（x＞0），令h（x）=-ax²+4x-（a+3），
（1）當a=0時，h（x）=4x-3，令h（x）＞0，得x＞

3

4

，此時f′（x）＞0；令h（x）＜0，得0＜x＜

3

4

，此時f′（x）＜0，∴f（x）的減區間為（0，

3

4

]，增區間為[

3

4

，+∞）；
（2）當a＞0時，△=4²-4（-a）[-（a+3）]=-4（a-1）（a+4），
①若a≥1，則△≤0，∴h（x）≤0，f′（x）≤0，∴f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減．
②若0＜a＜1，則△＞0，x1+x2=

4

a

＞0，x1x2=

a+3

a

＞0，∴x1=

2- -(a-1)(a+4)

a

＞0，x2=

2+ -(a-1)(a+4)

a

＞0，
當x∈（0，x₁）時，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x∈（x₁，x₂）時，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x∈（x₂，+∞）時，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
綜上，當a=0時，f（x）的減區間為（0，

3

4

]，增區間為[

3

4

，+∞）．
當0＜a＜1時，f（x）的減區間為（0，

2- -(a-1)(a+4)

a

），（

2+ -(a-1)(a+4)

a

，+∞）；增區間為（

2- -(a-1)(a+4)

a

，

2+ -(a-1)(a+4)

a

）．
當a≥1時，f（x）的減區間為（0，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當a≥1時，f（x）在[

1

2

，2]上單調遞減，∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為f（

1

2

）=-4ln2+

3

2

a+6，
g′（x）=2e^x-4，令g′（x）=0，得x=ln2．當x∈[

1

2

，ln2）時，g′（x）＜0，∴g（x）單調遞減，x∈（ln2，2]時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
∴g（x）在[

1

2

，2]上的最小值為g（ln2）=4-4ln2+2a，
由題意可知-4ln2+

3

2

a+6＞4-4ln2+2a，解得a＜4，又a≥1，
所以實數a的取值范圍為[1，4）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、求函數的最值問題.

1

2

本題運用了分類討論思想、轉化思想．